クヌースの矢印記号

問題

$2$ 以上の自然数 $n$ に対して、以下の操作を繰り返します。

【操作】
* $n$ が偶数のとき：$\dfrac{n}{2}$ を新たな $n$ とする。
* $n$ が奇数のとき：$n = 2m - 1$ となる自然数 $m$（すなわち $m = \dfrac{n+1}{2}$）を新たな $n$ とする。

この操作を繰り返し、値が初めて $1$ になるまでの操作回数を $N_n$ と定義します。

【例】
$n = 5$ のとき、$5 \to 3 \to 2 \to 1$ と変化するため、$N_5 = 3$ です。

このとき、$N_{2026}$ の値を求めてください。

答え方としては値を入力するだけでいいです。解いている中答えはわかるかもですが、nとガウス記号を用いて一般化できます。余裕があればぜひ。

問題文

$n$を$2$以上の自然数としたとき、$n^4+4^n$が素数であるような$n$は存在するか。

解答形式

存在するなら、1と回答し、存在しないなら2と回答してください。
ニブイチです。勘で当たるでしょう。

問題文

Aさんは今一個のチョコレートを持っています。もっとチョコレートがほしくなりチョコレートが同時に4個出る機械からチョコレートを1200個ゲットしようと思ってます。同時に4個出たときそれを一サイクルとすると何サイクル目で到達しますか？

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

問題文

x⁷＋x⁵＋x⁴＋x³＋x²＋１を因数分解しなさい。

解答形式

（）は全角でｘは半角で打ってください

問題文

整数係数多項式で次数が $9999$ 以下の $P(x)$ について，$(P(1),P(2), \dotsc P(10000))$ が $(1,2, \dotsc 10000)$ の並べ替えであるとき，$P(10001)$ として考えられる最大値を解答して下さい．

問題文

次の式を因数分解せよ。

$$
x^2 +x^4+y^4+3x^2y^2 + xy + 2xy^3 + y^2 - 12 + 2x^3y
$$

解答形式

正解においてそれぞれのカッコ内の定数項の合計の値を解答しなさい。
なお、値が負の数になった場合、-の記号はカタカナで答えなさい。
(例)[ただし◯、◻︎、◎などの記号はx、yなどを含める式を表す]
(◯+2)(◻︎+1)→3
◎(◯-1)(◻︎+3)(△-⭐︎)→2
(◯-2)(◯-3)→マイナス5

問題

1. 1+5=?
2. 3+5=?
3. 4+6=?
4. 8-2=?
5. 5-4=?
6. 7-2=?

回答形式

答えは全て半角でおねがいします。
1.~~などはいりません！

問題文

完全数たる半素数を全て求めよ。

註

完全数：その数自身を除く正の約数の総和が，その数自身に等しい数。e.g. $28=1+2+4+7+14$
半素数：$2$ つの素数の積で表される数。

解答形式

解が複数ある場合には，小さいものから順に並べ，半角のカンマ「,」で区切り入力してください。スペースは不要です。

第6問

次の和が発散することを示しなさい。
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$$

第3問

次の不定積分を求めなさい。
$$\int \frac{1}{6x^2+8}dx$$

問題文

鋭角三角形ABCにおいてAからBCに下ろした垂線の足をDとし, 三角形ABCの外接円と直線ADとの交点のうちAでない方をEとする.
外接円の中心をOとしたとき, 次が成り立った.

OD ⊥ BE
BD = 2, DC = 2√7

外接円の半径が4であるとき, 三角形ABCの面積を求めてください.

解答形式

正整数 a, bを用いてa + √bと表せるので, a + b の値を解答してください.

問題文

大きい円Oと小さい円O‘が接している。また、直線lにも接している。
円Oと円O’の面積がそれぞれ9π㎠、π㎠である時、次の(ア)〜(エ)に当てはまる数字、もしくは記号を答えなさい。ただし、一つの()内の数字は2桁である場合がある。
(例)ウの中身が2√3-1
「斜線部の面積は$(ア)\sqrt{(イ)}-\frac{(ウ)}{(エ)}$
である」

解答形式

行ごとに採点をするため、(ア)〜(エ)ごとに行を変えて答えなさい。
例↓
3
5
√17
3
など

特殊な記号は以下のものをコピペしてください。
+
-
×
÷
π
√