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$\dfrac{1}{\cos\dfrac{\pi}{9}}+\dfrac{1}{\cos\dfrac{5}{9}\pi}+\dfrac{1}{\cos\dfrac{7}{9}\pi}=-\dfrac{a}{b}$ ( $a,b$ は互いに素な自然数)である．
$a+b$ の値を求めよ．
半角数字で解答してください。
簡単です．教科書にもありそうなつまらない問題ですが，一応2通りの解法を用意しているので，考えていただけたら幸いです．
n を正の整数とし、$p$ を素数とする。$n!$ の素因数分解における $p$ の指数を $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor$ とする。
量 $Q_n$ を次のように定義する。 $$ Q_n = \sum_{p \le n} \left( \frac{n}{p-1} - E_p(n!) \right) \log p $$ ただし、和は $n$ 以下の全ての素数 $p$ を走り、$\log$ は自然対数とする。
次の極限値を求めよ。 $$ \lim_{n \to \infty} \frac{Q_n}{n} $$
ただし、オイラー・マスケロー二定数を $γ$ とする。
半角で
$\vec{x}=(1,\ p^{ \frac{1}{p}} )$ なるベクトル $\vec{x}$ の $L^{p \to +0}$ ノルムの値を求めよ．
半円と平行四辺形が図のように配置されています。赤い三角形の面積が3のとき、青い線分の長さを求めてください。 ※平行四辺形の一辺と半円は接する。
$$x=\fbox{ア}\sqrt{\fbox{イウ}-\fbox エ\sqrt{\fbox オ}}$$と表せるので、文字列 アイウエオ を解答してください。ただし、$\fbox ア～\fbox オ$には0以上9以下の整数が入ります。
$AB=AC=3$ なる $\triangle ABC$ がある．辺 $BC$ の $C$ 側の延長上に，$AD=5$ なる点 $D$ をとる．$\triangle ABD$ の外接円において，$B$ を含まない弧 $AD$ 上に，$DE=4$ なる点 $E$ をとる．直線 $CE$ と $\triangle ABD$ の外接円との交点のうち，$E$ でないものを $F$ としたら，$EF=\dfrac{48}{\sqrt{91}}$ となった．このとき， $$ BF=\dfrac{a}{b} $$ である．ただし，$a,b$ は互いに素な自然数である．
$\boldsymbol{\underline{a^{2}+b^{2}}}$ の値を求めよ．
半角数字で解答してください．
次の実数 $a,b,c$ に対し，つねに $|ax+by|\leqq |c|$ となる実数 $x,y$ の和の値域幅を求めよ．
半角数字で入力してください．
凸四角形$ABCD$の対角線$AC$上に点$E$があり，$\angle BAC=30^\circ$，$\angle ABE=110^\circ$，$\angle CBE=20^\circ$，$\angle DAC=10^\circ$，$\angle ADE=10^\circ$がそれぞれ成り立っている．このとき，$\angle CDE$の大きさを度数法で表すと，$x^\circ$となる．
$x$に当てはまる数を求めよ．
※3通りの解法を用意しています．難しくはないので，いろんな方向からアプローチしてみてください．
解答のみを，半角数字で答えてください．
◆◆◆◆◆◆◆◆◆ ㅤ 1辺が8cmの正方形ABCDの内部に点E・Ｇ・Ｈがあり、外部に点Fがあります。 BE=AF・CE=DFで、△EGCと△HGBは直角二等辺三角形です。 このとき、△AFHと△EGHの面積の合計は何cm²か、求めてください。 ㅤ ㅤ ㅤ
ㅤ ㅤ ㅤ
◆◆◆◆◆◆◆◆◆
単位不要。半角入力。 〔例〕 12cm²と答えたいとき → 「 12 」
次の不等式を満たす最大の自然数$n$を求めてください。 $$ 2^{n+1}-10\sum_{k=1}^n \lfloor \frac{2^{k-1}}{5} \rfloor \le 20210220 $$ただし、$\lfloor x\rfloor$は$x$を超えない最大の整数を表します。
$2(x-y)^2-xy(x^2+2xy+y^2-3)+(2x+2y)^2-(x+y)^2+xy[(x+y)(x-y)+2y(x+y)+5]$
半角で解答のみを記入すること
降べきの順で記入すこと
同じ項の中にx,yが同時にある場合、xを先に記入すること
指数の表記は ^n の形で解答すること
括弧の外にある係数は左側に記入すること
括弧内の項は、文字 数 の順に記入すること
以下の多重根号を簡略化せよ。
難易度やnaoperc様よりご指摘いただいた根号の指数の誤りなど複数箇所を訂正しました.
問題文, 解答形式の文章を他の問題と統一しました. 解答に影響はありません.
解答形式を変更しました. 解答に影響はありません.
スペースを含めず, ASCII文字のみを用いて $\mathrm{\LaTeX}$ 形式で解答してください. $は必要ありません.
3本の杭と中央に穴のあいた大きさの異なる$n$枚の円盤があります。いま、杭の1つにすべての円盤が小さいものが上にくるように積み重なっています（初期状態）。この状態から下記のルールを守りながら操作を行うとき、初期状態から到達し得る状態は何通りありますか。ただし初期状態も1通りと数え、また3本の杭は区別することとします。
例えば「左端の杭に大きさ1から$n$の全ての円盤が積み重なっている状態」を1つ、そこから操作を一回だけ行い、「左端に大きさ2から$n$の円盤、真ん中に大きさ1の円盤が積み重なっている状態」を1つ、のように状態の数をカウントします。また、「真ん中の杭に大きさ1から$n$の全ての円盤が積み重なっている状態」と、「右端の杭に大きさ1から$n$の全ての円盤が積み重なっている状態」のように杭が異なる場合もそれぞれ別の状態としてカウントします。
半角英数字と下記の半角記号で答えてください。式中にスペースを含めないでください。
