正の整数 $n$ に対し,「 $n$ の各位の積の一の位」を $f(n)$ とします.
$f(1000)+f(1001)+f(1002)+\cdots+f(9998)+f(9999)$ の値を解答してください.
半角数字で解答してください.
【補助線主体の図形問題 #068】
今週の図形問題は面積関係の問題です。暗算で処理するには厳しい程度の計算が待っています(とはいえ、そこまで複雑ではありません)。紙&ペンをご用意の上、お楽しみください。補助線が活躍するのはいつも通りです!
${\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
(例) $12\cm^2$ → $\color{blue}{12.00}$ $10\sqrt{2}\cm^2$ → $\color{blue}{14.14}$ $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm^2$ → $\color{blue}{1.62}$
入力を一意に定めるための処置です。
たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。
ある正整数 $n$ は以下の条件を満たしました.
このとき,$n$ の最小値を求めてください.
半角数字で正整数で答えてください.
追記:答えを訂正しました.miq氏にはご迷惑をおかけして申し訳ありません.
(1)$2024!$は何回$2$で割り切ることができるか答えよ。
(2)$[\sqrt{2024}]$、$[\sqrt[3]{2024}]$の値を求めよ。ただし、$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表すものとする。
(3)$2024!$の約数の個数は$10^{91}$より大きいことを示せ。ただし、$1$から$2024$までの素数は$306$個である。
(1) ~~~
(2) ~~~
の形でお願いします。問題番号と解答、一つの小問の解答と解答の間は半角スペースを開けてください。
解答は数字のみお書きください。
「オ」「タ」「チ」の $3$ 種類の文字で構成される長さ $n$ の文字列に対して,オオタチ度を,その文字列の中で連続する $4$ 文字が「オオタチ」となっているようなものの数と定義します.
たとえば「チタタオオタチオタチタオオオタチ」のオオタチ度は $2$ で,「チタオオチタオオチタオオ」のオオタチ度は $0$ です.
長さが $n$ で構成する文字が $3$ 種類のため,文字列としては $3^n$ 種類のものが考えられます.これらのオオタチ度の相加平均を $f(n)$ とします.
$f(n)$ が正整数になる最小の $n$ を解答してください.
半角数字で解答してください.
$n=0, 1,\cdots$ に対して
\begin{equation}
I_n=\int_0^1 \frac{x^n}{\sqrt{1-x^4}}dx
\end{equation}
と定める。この広義積分は収束することが知られている。
任意の $n=0,1,\cdots$ に対して
\begin{equation}
I_{n+\fbox{ア}}=\frac{n+\fbox{イ}}{n+\fbox{ウ}}I_n
\end{equation}が成り立つ(ただし $\fbox{ア}$ は $0$ でない)。これを利用すると
\begin{equation}
\prod_{n=1}^{\infty} \left[1-\frac{4}{(4n-1)^2}\right]=\frac{\fbox{エ}\;\pi^{\fbox{オ}}}{\alpha^{\fbox{カ}}}
\end{equation}が導かれる。ここで $\alpha$ は
\begin{equation}
\alpha=\int_0^{\infty} t^{-3/4}e^{-t}dt=\Gamma\left(\frac{1}{4}\right)
\end{equation}で定義される定数である(この広義積分は収束することが知られている)。
以下の事実は証明なしに用いてよい。
$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{カ}$ には,半角数字 0 - 9
のいずれかが当てはまります。$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{カ}$ に当てはまるものを,改行区切りで入力してください。
$AB=AC$,$\angle BAC=120^{\circ}$ である二等辺三角形 $ABC$ があり,点 $D,E$ は線分 $AB,BC$ をそれぞれ $3:1$ に内分している.点 $P$ が辺 $AC$ 上を動くとき,線分の長さの和 $DP+PE$ が最小となるような線分の長さの比 $AP:PC$ を,最も簡単な整数の比で求めよ.
解答は,互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $a:b$ と表せます.1行目に $a$ の値を,2行目に $b$ の値を,それぞれ半角数字で解答してください.
【補助線主体の図形問題 #101】
こちらは図形問題通算100問目 https://pororocca.com/problem/1251/ の続きにあたる問題です。100問目を正解したうえでこちらに挑戦するのをお勧めします。
${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
(例) $12\cm^2$ → $\color{blue}{12.00}$ $10\sqrt{2}\cm^2$ → $\color{blue}{14.14}$ $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm^2$ → $\color{blue}{1.62}$
入力を一意に定めるための処置です。
たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。
【補助線主体の図形問題 #003】
先日から補助線を主体とした図形問題を投稿しています。先々週・先週と求積・求角とお送りしてきたので、今回は求長問題にしてみました。
暗算で処理可能な解法もあります。補助線の世界をお楽しみください。
${\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
(例) $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$ $10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$ $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
入力を一意に定めるための処置です。
たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。