C

問題文

$-1\leq k \leq 1$ を満たす実数 $k$ において，$10k + 11\sqrt{1-k^2}$ の最大値を $2$ 乗したものを求めてください．

解答形式

正整数で答えて下さい．

問題文

$11 \times 11$ の長方形のマスのうちいくつかを次の条件を満たしながら黒色に塗っていきます．

• 黒色に塗られた任意の $2$ つのマスは辺を共有しない(頂点は共有しても良い)．

このとき，黒色に塗ることができるマスの数は最大でいくつですか．

解答形式

正整数で答えて下さい．

問題文

正整数 $N$ に対し, $f(N)$ を以下のように定めます.
・ $N$ の正の約数全てに対し, それが $2$ で割り切れる最大の回数の総和

例えば, $f(6) = 2, f(4) = 3$ となります. このとき, $f(M) = 40$ となる最小の正整数 $M$ を解答して下さい.

解答形式

正整数を解答して下さい.

問題文

$a,b,c$がいずれも正の実数であり、$a+b+c=5,abc=1$が成り立つとき、$ab+bc+ca$の最小値を求めよ。

解答形式

答えは既約分数になります。/を用いて入力してください。
例：$\displaystyle\frac{5}{7}$→5/7

問題文

三角形 $ABC$ の外接円を $\Gamma$ とします．辺 $BC$ 上に点 $X$ をとります．$B,X$ を通り，$\Gamma$ と接する円を $\Omega_1$ とし，$C,X$ を通り，$\Gamma$ と接する円を $\Omega_2$ とします．$\Omega_1$ と $\Omega_2$ は二点で交わっており，$X$ でない方の交点を $Y$ とします．直線 $XY$ は点 $A$ を通り，線分 $XC$ の垂直二等分線も点 $A$ を通りました．
$$BX = 4，CX=1$$を満たす時，三角形 $ABC$ の面積の二乗を求めてください．ただし，求める値は互いに素な二つの正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表すことができるので，$a+b$ を解答してください．

解答形式

非負整数を半角で入力してください．

直方体 $ABCD-EFGH$があり, $AB=\sqrt{2},AD=2023\sqrt{2},AE=2024\sqrt{2}$ です. 三角形 $BDE$ の面積を求めてください.

問題文

$ $　地理奈ちゃんは，$10$ 面サイコロを $4$ つ持っており，それを $4$ つ全て同時に $1$ 回振ることを考えます．ここでの $10$ 面サイコロは，$1$ 以上 $10$ 以下の整数の目が同様に確からしい確率で $1$ つ出るサイコロとします．
$ $　また，サイコロの出目により，それぞれのサイコロに対して，成功数を以下のように定義します．

• 出目が $1$ のとき $2$
• 出目が $2$ 以上 $7$ 以下のとき $1$
• 出目が $8$ 以上 $9$ 以下のとき $0$
• 出目が $10$ のとき $-1$

$ $　この時，$4$ つのサイコロを振って，その成功数の合計が $0$ 以下になる確率は，互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を解答してください．

【追記】
難しすぎるという意見をいただいたので難易度を2→3に変更しました。

解答形式

非負整数を半角で解答してください．

問題文

$$\angle{ADB}=\angle{ADC}=\angle{CDB}=90^°$$なる四面体 $ABCD$ の外接球に関して、体積を $V$ 表面積を $S$ としたとき、非負整数 $p$ を用いて、$V=p\pi,S=p\pi$ が成り立ちました。
このとき、四面体 $ABCD$ の体積の最大値の2乗を求めてください。

解答形式

半角数字で入力して下さい。

問題文

正五角形 $ABCDE$ があり，その中心を $O$ とします．線分 $BO$ 上に点 $F$ を，線分 $EO$ 上に点 $G$ をとり，三角形 $AFG$ の外接円と線分 $AB,AE$ との交点をそれぞれ点 $P,Q$ とすると，以下が成立しました．

$$\angle{FAG}=54^{\circ} , PB=28 , QE = 30$$

このとき，正五角形 $ABCDE$ の一辺の長さを求めてください．
ただし，正多角形の中心とはその正多角形の外接円の中心のことを表すとします．

解答形式

答えは正整数 $a,b,c$ を用いて $a+\sqrt{b - \sqrt{c}}$ と表されるので，$a+b+c$ を解答してください.

問題文

$ $　地理奈ちゃんは，$1$ を含んだ数列をいくつか思い浮かべようとしています．
$ $　そこで，以下のルールをすべて守った数列を，良い数列と呼ぶことにします:

• $1$ 以上 $9$ 以下の整数から $3$ つを選んでいる数列である．
• その数列は公差が $0$ でない等差数列である．
• 数列のどこか $1$ 項に必ず $1$ を含んでいる．

$ $　この時，良い数列は全部でいくつありますか？

解答形式

非負整数を半角で解答してください．

問題文

$14^3$ の $16$ 個の正の約数を並び替えた数列を $a_1,\ldots,a_{16}$ とおき，$15^3$ の $16$ 個の正の約数を並び替えた数列を$b_1,\ldots,b_{16}$ とおきます．この二つの数列のスコアを
$$
\sum_{k=1}^{16} \frac{a_k}{b_k}
$$
で定めます．数列 $a,b$ の組として考えられるものは $(16!)^2$ 通りありますが，これらの組におけるスコアの（相加）平均を求めてください．ただし，求める値は互いに素な正整数 $p,q$ を用いて，$\dfrac{p}{q}$ と表されるため，$p+q$ を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

正整数 $N$ について，次の $2$ つのことがわかっています．

• $N$ を素因数分解すると $N=3^2 \times 11 \times 31 \times 2,354,911,118,533$ である.
  ただし，「 $,$ 」は $3$ 桁ごとの区切りです．
• $N$ の各桁に現れる数字は $2$ 種類あり，それらを $a,b\ (a \gt b)$ としたとき，$a$ と $b$ の現れる回数は等しい.

$10a+b$ の値を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください．