2024⑤

問題文

(1)$2024!$は何回$2$で割り切ることができるか答えよ。
(2)$[\sqrt{2024}]$、$[\sqrt[3]{2024}]$の値を求めよ。ただし、$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表すものとする。

チャレンジ課題

(3)$2024!$の約数の個数は$10^{91}$より大きいことを示せ。ただし、$1$から$2024$までの素数は$306$個である。

解答形式

(1) ~~~
(2) ~~~
の形でお願いします。問題番号と解答、一つの小問の解答と解答の間は半角スペースを開けてください。
解答は数字のみお書きください。

問題文

$[\sqrt[11111]{2024!}]$を求めよ。ただし、$\log_{10}2=0.3010$、$\log_{10}3=0.4771$とする。

解答形式

数字のみを記入してください。

問題文

三角形$ABC$の内部に点$P$があり，$\angle ABP=42^\circ$，$\angle CBP=42^\circ$，$\angle ACP=6^\circ$，$\angle BCP=12^\circ$がそれぞれ成り立っている．このとき，$\angle BAP$の大きさを度数法で表すと，$x^\circ$となる．

$x$に当てはまる数を求めよ．

解答形式

解答のみを，半角数字で答えてください．

（2022/08/14 0:12追記）

問題文に誤りがあったため、修正しました。

問題文

頂角が $30$ 度または $90$ 度である二等辺三角形を図のように配置しました。このとき、ピンクで示した角の大きさは何度ですか？

解答形式

ピンクの角 $=x$ 度です。$x$ に当てはまる $0$ 以上 $180$ 未満の値を半角数字で解答してください。

問題文

凸四角形$ABCD$の対角線$AC$上に点$E$があり，$\angle BAC=30^\circ$，$\angle ABE=110^\circ$，$\angle CBE=20^\circ$，$\angle DAC=10^\circ$，$\angle ADE=10^\circ$がそれぞれ成り立っている．このとき，$\angle CDE$の大きさを度数法で表すと，$x^\circ$となる．

$x$に当てはまる数を求めよ．

※3通りの解法を用意しています．難しくはないので，いろんな方向からアプローチしてみてください．

解答形式

解答のみを，半角数字で答えてください．

問題文

図のような展開図を組み立てできる立体の体積は何㎤ですか。
ただし、⚪︎の三角形は直角二等辺三角形、×の三角形は正三角形、⬜︎の四角形はひし形で、青の角の大きさは60°、赤の角の大きさは120°です。また、⚪︎の三角形の面積は36㎠です。

解答形式

半角数字で入力してください。
例）10

問題文

図のように長方形や直角三角形の内接円が配置されています。青で示した角の角度を求めてください。

解答形式

度数法で求め、半角数字で0以上360未満の整数を解答してください。
※度や°などの単位は付けないでください。

4×4の16マスがある。このマス目を赤、青、黄、緑で塗ることを考える。

A：縦と横のどの辺をとっても赤、青、黄、緑が一回ずつ出現する。
B：以下のように4つの部屋に分割したときにどの部屋をとっても赤、青、黄、緑が1回ずつ出現する。
□□｜□□
□□｜□□
＿＿｜＿＿
□□｜□□
□□｜□□

AとBを両方満たす塗り方は何通りありますか？
（例：30通りだったら、30と答えなさい）

問題文

図の条件の下で、線分 $CG$ の長さを求めてください。
※図中の各線分の長さの比は正確とは限りません。

解答形式

互いに素な正整数 $a,b$ によって $CG=\dfrac{a}{b}$ と表せるので、$a+b$ の値を半角数字で解答してください。

問題文

図の条件の下で、赤で示した線分の長さ $x$ を求めてください。

解答形式

$x^2$ の値を半角数字で解答してください。

問題文

図の条件の下で、青で示した三角形の面積を求めてください。

解答形式

解答は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので、$a+b$ の値を半角数字で解答してください。

問題文

図の条件の下で、$x$ で示した角の大きさを求めてください。
ただし、外側の三角形は鋭角三角形であるとします。

解答形式

$x=a$ 度です $(0<a<30)$ 。$a$ の値を半角数字で解答してください。