[C] A Downward Tower
正答
| ア | イ | ウ | エ | オ | カ | キ | ク | ケ | コ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
e |
2 |
1 |
0 |
e |
2 |
1 |
e |
2 |
1 |
解説
一般に，奇数 $2k-1$ に対して
\begin{align}
2^kk!(2k-1)!!&=2^k\cdot k(k-1)(k-2)\cdots 2\cdot 1\cdot (2k-1)(2k-3)\cdots 3\cdot 1\\
&=2k(2k-2)\cdots 4\cdot 2\cdot (2k-1)(2k-3)\cdots 3\cdot 1\\
&=(2k)!
\end{align}が成り立つ。よって
\begin{align}
I_0&=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^kk!(2k-1)!!}\\
&=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k)!}\\
&=\frac{1}{2}\left[\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!}\right]\\
&=\frac{e+1/e}{2}
\end{align}
および
\begin{align}
I_1&=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^kk!(2k+1)!!}\\
&=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)!}\\
&=\frac{1}{2}\left[\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!}\right]\\
&=\frac{e-1/e}{2}
\end{align}が成り立つ。ゆえに
$$
I_0+I_1=e
$$である。また，
\begin{align}
I_{n-1}-I_{n+1}&=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k}k!(2n+2k-3)!!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k}k!(2n+2k+1)!!}\\
&=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k}k!(2n+2k-3)!!}-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^{k-1}(k-1)!(2n+2k-1)!!}\\
&=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k}k!(2n+2k-3)!!}-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2k}{2^kk!(2n+2k-1)!!}\\
&=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2n+2k-1}{2^{k}k!(2n+2k-1)!!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2k}{2^kk!(2n+2k-1)!!}\\
&=(2n-1)\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k}k!(2n+2k-1)!!}\\
&=(2n-1)I_n
\end{align}となる。$I_n$ の表式より $I_n$ は $n$ が増加すると $I_n>0$ を保ったまま単調に減少する。よって $I_{n+1}/I_n$ は $n\to\infty$ においてある定数 $a\geq 0$ に収束する。もし $a\neq 0$ と仮定すると，漸化式を変形して得られる式
$$
\frac{I_{n-1}}{I_n}-\frac{I_{n+1}}{I_n}=2n-1
$$の両辺の $n\to\infty$ における挙動が食い違うから矛盾。したがって $a=0$ であり，
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{I_{n+1}}{I_n}=0
$$が成り立つ。また，漸化式を繰り返し用いると
\begin{align}
\frac{I_0}{I_1}&=1+\frac{I_2}{I_1}\\
&=1+\cfrac{1}{3+\cfrac{I_3}{I_2}}\\
&=1+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{5+\cfrac{I_4}{I_3}}}\\
&=1+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{5+\cfrac{1}{\ddots \cfrac{1}{2n-1 + \cfrac{I_{n+1}}{I_n}}}}}
\end{align}が得られ，両辺の $n\to\infty$ における極限をとると
$$
1+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{5+\cfrac{1}{7+\cfrac{1}{\ddots}}}}=\frac{I_0}{I_1}=\frac{e+1/e}{e-1/e}=\frac{e^2+1}{e^2-1}
$$が成り立つことがわかる。
補足
この問題で導いた漸化式は，一般に変形ベッセル関数
$$
I_{\nu}(x):=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(x/2)^{\nu+2k}}{k!\Gamma(\nu+k+1)}
$$が満たす漸化式
$$
I_{\nu-1}(x)-I_{\nu+1}(x)=\frac{2\nu}{x}I_{\nu}(x)
$$の特別な場合である。実際に，$\nu=n-1/2, x=1$ を代入して両辺を $\sqrt{\pi/2}$ 倍すると問題で導いた漸化式が得られる。$x$ や $\nu$ に好きな値を入れれば，類似の連分数表示をいくらでもつくることができる。例えば，$\nu=n-1/2, x=1/2$ とすれば
$$
2+\cfrac{1}{6+\cfrac{1}{10+\cfrac{1}{14+\cfrac{1}{\ddots}}}}=\frac{e+1}{e-1}
$$が得られる。
参考文献
- Lehmer, D. H. (1973). Continued fractions containing arithmetic progressions. Scripta Math, 29, 17-24.
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