古典制御論においてシステムの特性が線形微分方程式で表される場合、伝達関数は有理関数G(s)=bmsm+bm−1sm−1+…+b1s+b0ansn+an−1sn−1+…+a1s+a0で与えられる。このときの分母多項式ansn+an−1sn−1+…+a1s+a0は複素数の範囲でn個の根を持ち、これらの実部が全て負であれば漸近安定、非正であればリアプノフ安定となる。
まずは分母多項式が2次の場合の安定条件を考える。
(1) a,bを実数とするとき、2次方程式 x2+ax+b=0 の2解の実部が共に非正となるようなa,bの条件を次の中から選べ。
1. a≥0かつb≥0
2. a≥0かつb≤0
3. a≤0かつb≥0
4. a≤0かつb≤0
次に分母多項式が4次の場合の安定条件を考える。
以下では、p,qを実数とし、4次方程式x4+(p+q)x3+(6−p2−q2)x2+(p+q)x+1=0…(∗)を考える。
(2) (*)の4解が全て実数解であり、かつ(実部が)全て非正となるようなp,qの組について以下のうちどちらが正しいか。
1. 存在する。
2. 存在しない。
(3) (*)の4解の実部が全て非正となるようなp,qの条件を求め、そのようなp,qに対するpqの最大値を求めよ。
(1)~(3)の解答を半角数字で改行区切りで解答してください。
ただし、(1)の解答は1
から4
の中から選び、(2)の解答は1
,2
の中から選び、(3)の解答はpqの最大値のみ答えること。
(1)は解が実数の場合と虚数の場合で場合分けします。
(2)は相反方程式となっているのでt=x+1xとおきます。
(3)はxがRe(x)≤0を満たしながら動くときtがどうなるか考えてみましょう。
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