[D] Stability

okapin 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 高校数学
2020年9月12日18:00 正解数: 1 / 解答数: 8 (正答率: 12.5%) ギブアップ数: 0
この問題はコンテスト「Okapin Mathematical Contest」の問題です。

全 8 件

回答日時 問題 解答者 結果
2020年9月18日0:07 [D] Stability Benzenehat
正解
2020年9月17日23:13 [D] Stability Benzenehat
不正解 (2/3)
2020年9月17日23:06 [D] Stability Benzenehat
不正解 (2/3)
2020年9月17日22:37 [D] Stability Benzenehat
不正解 (2/3)
2020年9月17日22:36 [D] Stability Benzenehat
不正解
2020年9月12日20:02 [D] Stability pyonpyon
不正解 (1/3)
2020年9月12日20:02 [D] Stability pyonpyon
不正解 (1/3)
2020年9月12日20:01 [D] Stability pyonpyon
不正解 (2/3)

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[B]ネットワークの情報伝達

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問題文

次のようなネットワークを考える.
・情報として「0」または「1」の状態を各ノードは保持することができる.
・各ノードは他のノードに対して一方的に情報を伝達する.
・情報の伝達の際には,ある確率pで正しく状態を伝達するが,1-pの確率で状態が反転して伝達される.ここで,このpは枝によって値が異なることに注意する.
・2つのノードから情報が伝達される場合には,両方の情報を受け取った上で,保持する状態を決定する.このとき,2本のノードから受け取った情報が一致する場合には一致した状態を保持し,異なる情報を受け取った場合には1/2の確率で「0」を保持することにする(1/2の確率で「1」を保持することにする).
以下の図のネットワークにおいて始点の情報を終点まで伝達することを考え,始点と終点の状態が一致する確率xを求める.
ただし,矢印(枝)はノード間の情報伝達の方向を表し,枝の上に書かれている文字は正しく伝達される確率(上の説明のp)を表すものとする.

① a=2/3,b=3/4の場合のxを計算せよ.
② a=11/111,b=1/2の場合のxを計算せよ.
③ a=2/3,b=3/4の場合を考える.このネットワークはxy平面上の$3\times3$のサイズの格子点において,x軸正方向とy軸正方向に正しく情報が伝達される確率をそれぞれa,b,始点を原点,終点を点(2,2)としたものとみなせる.このとき,$n\times n$のサイズに拡張された(終点を(n,n)とする)ネットワークを考えると,$n\to \infty$とした時に,始点と終点の状態が一致する確率の収束値を求めよ.

解答形式

「分子/分母」(半角英数字)として既約分数を表せ.例)11/92
1行目に①,2行目に②,3行目に③を解答すること.

[A] Natural Number

okapin 自動ジャッジ 難易度:
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問題文

$\dfrac{n^2+2020}{2n}$が自然数となるような自然数$n$の総和を求めよ。

解答形式

解答を半角数字で入力してください。

二等分

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問題文

中心$O$, 直径$AB$とする円の$A,B$以外の円周上の点$C$を取り, $\angle BAC=\theta \ (0^\circ<\theta <90^\circ)$ とする。
このとき, 線分$OD$が線分$AC$によって二等分されるような点$D$が円周上に取れるような$\theta$の取りうる範囲を求めよ。

解答形式

求める$\theta$の範囲は$a^\circ<\theta\leq b^\circ$となります。1行目に$a$, 2行目に$b$を半角数字で入力してください。

円周率 3

hinu 自動ジャッジ 難易度:
3月前

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問題文

$\pi$ と $\dfrac{355}{113}$ はどちらが大きいか。ただし必要があれば積分

$$
\int_0^1\frac{x^8(1-x)^8(25+816x^2)}{3164(1+x^2)}dx
$$

を計算せよ。

解答形式

piまたは 355/113 で解答してください。

hinu問題02

hinu 自動ジャッジ 難易度:
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8

問題文

$a,b,c$ を実数とする。次の連立方程式を解け。

$$
a^2-4b-1=0\\
b^2-8c+28=0\\
c^2-6a+2=0\\
$$

解答形式

a,b,cを半角数字として(a,b,c)で解答してください。無理数などを使いたい場合はTeXコマンドを使用してください。

Sandwich+

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7

問題文

https://pororocca.com/problem/19/
こちらの問題の設定で,「裏裏裏裏裏表表表表表」というピザの塔ができるような調理は何通りあるか答えなさい.

解答形式

半角数字で入力してください.

Sandwich

halphy 自動ジャッジ 難易度:
3月前

7

問題文

ピザが1枚ずつ乗った $N\;(\geq 2)$ 枚の皿が横一列に並んでいます.ピザにはがあり,表には具がのっていて,裏にはのっていません.はじめ,すべての皿のピザは表が上になっています.これらのピザに対して,次の操作Xを考えます.

操作X:

  1. 隣り合う2枚の皿に着目し,左側の皿に乗っているピザをひっくり返し,右側の皿の一番上に重ねる.ピザが複数枚乗っている場合は,ピザを重ねたまままるごとひっくり返す.
  2. 左側の皿を取り除き,皿どうしのすき間を詰める.

この操作Xを$\;N-1\;$回繰り返すと,1枚の皿にピザの塔ができます.操作Xの $N-1$ 回の繰り返しをピザの調理ということにします.ピザの塔を構成するピザを,上から順に$\;P_i\; (i=1,\cdots, N)\;$とし,$P_i$ が表を上に向けているとき「表」,裏を上に向けているとき「裏」と書くことにすると,ピザの塔は「裏裏裏表」のように表すことができます.

$N=6$とします.「裏裏裏裏表表」というピザの塔ができるような調理は何通りあるか答えなさい.

解答形式

半角数字で入力してください.

Commutability

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問題文

${\rm GL}(2,\mathbb{R})$ を $2\times 2$ 正則行列全体の集合とする.単位行列を $E$ とし,${\rm GL}(2,\mathbb{R})$ の部分集合 $S$ を

\begin{equation}
S=\{ A\in {\rm GL}(2,\mathbb{R})\mid \forall X\in {\rm GL}(2,\mathbb{R}), AX=XA\}
\end{equation}

で定めるとき

\begin{equation}
S=\{ rE \mid r\in \mathbb{R}, r\neq 0\}
\end{equation}

であることを証明せよ.

Vo Sequence

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問題文

「ボ」と「ー」からなる文字列のうち,以下の条件を満たすものをボー文字列と呼ぶことにします.


条件:長音記号「ー」が文字列の先頭にくることはなく,連続して現れない.


例えば,「ボボー」や「ボーボボ」はボー文字列ですが,「ーボー」や「ボボーー」はボー文字列ではありません.

ボー文字列に対して,次の操作を行うことを考えます.


操作:ボー文字列に対して,次のうちいずれか一方を行う.

  • (A)文字列のどこか1ヶ所に長音記号「ー」を付け加える.
  • (B)文字列の末尾に「ボ」を付け加える.

ただし,得られた文字列はボー文字列でなければならない.


1文字「ボ」から始めて,ボー文字列に対してくり返し操作を行い $n$ 文字からなるボー文字列が得られたとします.異なる操作の仕方の総数を $a_n$ とするとき,$a_{10}$ を求めなさい.

解答形式

半角数字で入力してください。

常に無理数か?

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問題

(1) $a,b$ を整数でない正の有理数とする。 $a^b$ は常に無理数か。

(2) $a$ を整数でない正の有理数とする。 $a^a$ は常に無理数か。

(3) $a,b$ を正の無理数とする。 $a^b$ は常に無理数か。

(4) $a$ を正の無理数とする。 $a^a$ は常に無理数か。

解答方法

解答欄に改行区切りで O (オー)または X (エックス)を記述せよ。正解判定は各行に対して行われ、完答のみ正解となる。

hinu積分02

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問題

(1) 定積分

$$
\int_0^1 \frac{x\log x}{(x+1)^2}dx
$$

の値を求めよ。

(2) 関数列 ${f_n(x)}$ を

$$
f_{n+1}(x)=(x^x)^{f_n(x)},\quad f_1(x)=x^x
$$

で定める。定積分

$$
\int_0^1(x^x)^{{(x^x)}^{(x^x)\cdots}}dx:=\int_0^1\lim_{n\to \infty} f_n(x)\ dx
$$

の値を求めよ。ただしテトレーション $x^{{x^{x\cdots}}}$ は底 $x$ が $e^{-e}<x<e^{1/e}$ のとき収束することは証明せずに用いて良い。

備考

この問題の正解判定は出題者により手動で行われるため、判定までに時間がかかることがある。

Roly Poly

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問題文

$m$ と $n$ を互いに素な自然数とします.実数係数多項式 $f(x)$ が次の性質をもっているとき,$f(x)$ を $m,n$-生成の多項式と呼ぶことにします.

  • 性質:すべての実数係数多項式 $g(x)$に対して,$f(x)g(x)=h(x^m, x^n)$ となるような実数係数の2変数多項式 $h(x,y)$ が存在する.

$x^k$ がすべての $10,n$-生成の多項式を割り切るような最大の自然数 $k$ は


です.ただし,単項式も多項式に含まれるとします.

解答形式

センター試験方式です.ア,イ,ウにはそれぞれ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 および -,a,b,c,d のいずれか1文字が当てはまります.ア,イ,ウに 1, 2, 3 が当てはまるなら,123 と回答してください.