以下$A^°$を$A$の開核(内部)、$\bar{A}$を閉包とする。
$(⇒)$. $\partial{A}=\emptyset$であると仮定する。
このとき$\partial{A}=\bar{A}-A^°$であるから$\partial{A}=\bar{A}-A^°=\emptyset⇔\bar{A}\subset{A^°}$
$A^°\subset{A}\subset{\bar{A}}$であり、これより、$A=A^°,A=\bar{A}$を得る。
したがって$A$は開かつ閉集合。
$(\Leftarrow)$.$A$は開かつ閉集合より、$A=A^°,A=\bar{A}$したがって、$\partial{A}=\bar{A}-A^°=A-A=\emptyset$◻︎