[E] 導関数の舞踏会
解答
$$
2yy''''+(y'')^2=2y'y'''+a\cdots\ast
$$
の両辺を微分すると、
$$
\begin{eqnarray}
2y'y''''+2yy^{(5)}+2y''y'''&=&2y''y'''+2y'y''''\\
2yy^{(5)}&=&0
\end{eqnarray}
$$
が得られ、$y(x)>0$ であるから任意の実数 $x$ に対して $y^{(5)}=0$ が成り立つ。よって $c_0,c_1,c_2,c_3,c_4$ を定数として
$$
y(x)=c_4x^4+c_3x^3+c_2x^2+c_1x+c_0
$$
とおける。$y'(0)=y''(0)=0, y'''(0)=y''''(0)=1$ から $\displaystyle c_1=c_2=0,c_3=\frac{1}{6},c_4=\frac{1}{24}$ が得られる。また、$y(0)=c_0$ であり、$x=0$ でも $\ast$ が成り立つことから、$\displaystyle c_0=\frac{a}{2}$ が必要である。したがって、
$$
y(x)=\frac{x^4}{24}+\frac{x^3}{6}+\frac{a}{2}
$$
が必要である。このとき任意の実数 $x$ に対して $\ast$ が成り立つので、あとはこれが $y(x)>0$ を満たすことを確かめればよい。$y(x)$ の増減を調べると
$$
y'(x)=\frac{x^3}{6}+\frac{x^2}{2}=\frac{x^2(x+3)}{6}
$$
であるから、$y(x)$ は $x=-3$ で最小値 $\displaystyle y(-3)=\frac{4a-9}{8}$ をとる。よって、$\displaystyle a>\frac{9}{4}$ であれば $y(x)>0$ を満たすことがわかる。
よって特に $\displaystyle a=\frac{50}{17}$ とすると、$\displaystyle \frac{50}{17}>\frac{9}{4}$ より題意を満たす $y(x)$ が一意に存在し、その最小値は
$$
y(-3)=\frac{4 \cdot \displaystyle \frac{50}{17}-9}{8}=\frac{47}{136}
$$
である。したがって $\fbox{アイ}=47,\fbox{ウエオ}=136$ である。
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