Loading [MathJax]/extensions/TeX/newcommand.js

Corner Cases

halphy 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 高校数学
2020年6月10日17:57 正解数: 5 / 解答数: 22 (正答率: 22.7%) ギブアップ不可

問題文

次の命題の真偽を答えなさい。

  1. 0a,b<10 を満たす実数 a,b10進小数 で表したものをそれぞれ a0.a1a2a3,b0.b1b2b3 とするとき,ある k=0,1, に対して akbk ならば ab である。

  2. a1,a2 を平行(*)でない平面ベクトルとする。実数 k1,k2,k1,k2 に対して
    k1a1+k2a2=k1a1+k2a2が成り立つならば k1=k1 かつ k2=k2 である。

  3. 実数全体を定義域とする微分可能な実数値関数 f(x)
    f(x)=xを満たすとする。このとき,f(x) はある実数 a を用いて
    f(x)=xatdtと表せる。

  4. 数列 {an},{bn}n である実数に収束するとする 。任意の n に対して bn0 ならば,数列 {anbn} も収束する。

注意

  • *この問題では,平面ベクトル a1,a2 が平行であるとは a1=ka2 となる実数 k0 が存在することをいいます。
  • (2020/6/11 15:40 更新)命題 1 の条件を変更しました。正解には影響ありません。

解答形式

k=1,2,3,4 に対して,命題 k が真なら T を,偽なら F を第 k 行に出力してください。


ヒント1

命題 2 については「注意」をよく読んでください。


スポンサーリンク

解答提出

この問題は自動ジャッジの問題です。 解答形式が指定されていればそれにしたがって解答してください。

Discordでログイン Sign in with Google パスワードでログイン

ログインすると? ログインすると、解答・ギブアップをする他に、問題を投稿したり、ランキングで競うことができます。

または


おすすめ問題

この問題を解いた人はこんな問題も解いています

logの重複合成

shakayami 自動ジャッジ 難易度:
5年前

14

問題文

fm(x)という関数列をf1(x)=logx,fm+1=logfm(x)と定義します。ただしlogxは自然対数です。
具体的にはf1(x)=logx,f2(x)=loglogx,f3(x)=logloglogx,となります。
このとき、
limn{fm(3n)fm(2n)}=0
となるような最小の自然数mを求めてください。

解答形式

半角数字で入力してください。

求面積問題2

Kinmokusei 自動ジャッジ 難易度:
5年前

11

問題文

緑色の線分の長さは1です。
このとき、円の面積を求めてください。
図中の赤点はそれを含む線分の中点です。

解答形式

答えは(分数)×πの形になります。
分子を1行目に、分母を2行目に半角数字で入力してください。
ただし、既約分数の形で解答してください。
例: (10/3)π → 1行目に10、2行目に3

カオス的数列

masorata 自動ジャッジ 難易度:
5年前

9

問題文

関数 f(x)f(x)=4x(1x) で定義し、数列 {xn} (n=1,2) を、
x1=sin21=0.708073418...,  xn+1=f(xn)  (n=1,2,...)

で定める。このとき、 極限値 limn1nnk=1log|f(xk)| を求めよ。

注: 角度の単位はラジアンを用いる。 log は自然対数を表すものとする。また、π が無理数であることは認めてよい。

解答形式

求めた極限値を小数で表し、絶対値の小数第4位を四捨五入したものに、必要ならば負号をつけて答えよ。すべて半角で入力すること。
例1: 2π=6.2831...と解答する場合には、「6.283」と入力せよ。
例2: π=3.1415...と解答する場合には、「-3.142」と入力せよ。

また、必要なら以下の自然対数の値を用いよ。
log2=0.6931...,log3=1.0986...,log7=1.9459...

EasyNumber.2 二つの自然数

PCTSMATH 自動ジャッジ 難易度:
5年前

19

問題文

ある二つの自然数a,bは積が和より1000大きくどちらかが立方数だった
この時a,bの組を全て求めよ

解答形式

a<bとした時のaを小さい順に半角数字で解答せよ
例 (4,7)(8,91)の時は48

Chocolate

okapin 自動ジャッジ 難易度:
5年前

10

問題文

おかぴんはチョコレート入りの袋が3袋入った箱を持っていて、これから食べようとしています。
しかし、おかぴんは怠惰なので食べ終わった空の袋を捨てずに、再び箱の中に入れてしまいます。
箱の中から1袋ずつ取り出して、それがチョコレートの入った袋だったなら食べて箱の中に空の袋を戻し、それが空の袋だったなら食べずにそのまま箱の中に戻す、という試行を繰り返します。
チョコレートの入った袋を取り出す確率も空の袋を取り出す確率も同様に確からしいとするとき、箱の中の全てのチョコレートを食べ終えるまでの試行回数の期待値を求めてください。

解答形式

答えは(ただし既約分数)となります。に入る数字をそれぞれ1,2行目に半角で入力してください。

Almost Linear

okapin 自動ジャッジ 難易度:
5年前

13

問題文

nを2以上の整数とし, f(x)=nxn+nxn1(x0)を考える。

(1) xを正の整数とするとき, f(x)の値が整数でないことを示せ。

(2) y=f(x), x軸, x=m1 (mは正の整数) で囲まれた領域内(境界線上も含む)の格子点の数を求めよ。

解答形式

(2)m=100 のときの答えを半角数字で入力してください。

hinu積分03

hinu 自動ジャッジ 難易度:
5年前

20

問題文

定積分

10(71x11111x7)dx

を求めよ。

解答形式

値は半角数字で記述せよ。無理数などを用いたい場合は必要ならばTeX記法により記述せよ。

二等分2

okapin 自動ジャッジ 難易度:
5年前

4

問題文

xy平面において点Oを中心とする単位円上に異なる2点を取り、それぞれP0,Qとする(ただしP0,O,Qは一直線上にないものとする)。また、P0OQのうち小さい方の角をθとする(0<θ<π)
これから、以下の操作をi=1,2,3,,nについて計n回行う。

(操作)
Pi1Qのうち短い方の弧を2等分するような単位円上の点をPiとし、Pi1PiQの面積をSiとする。

このとき、
Si=sinθi12sinθi1となるので、
ni=12i1Si=12(nsinθnsinθ)となる。ここでnとすると
右辺の極限値は、
12(θsinθ)となり扇形P0OQからP0OQを取り除いた図形の面積に収束することが分かる(図形的にも明らか)。

解答形式

~に入る整数を半角で1,2,…行目に入力してください。

Second Number

okapin 自動ジャッジ 難易度:
5年前

21

問題文

1010 の小数第一位の値を求めよ。
ただし, log102=0.3010 とする。

解答形式

答えを半角数字で入力してください。

二等分

okapin 自動ジャッジ 難易度:
5年前

21

問題文

中心O, 直径ABとする円のA,B以外の円周上の点Cを取り, BAC=θ (0<θ<90) とする。
このとき, 線分ODが線分ACによって二等分されるような点Dが円周上に取れるようなθの取りうる範囲を求めよ。

解答形式

求めるθの範囲はa<θbとなります。1行目にa, 2行目にbを半角数字で入力してください。

可換なさんかく演算

hinu 自動ジャッジ 難易度:
5年前

16

問題

自然数の組に対する二項演算 および は以下の条件を満たすとする。

\newcommand{\o}{\ \small\bigcirc \ \normalsize } \newcommand{\tr}{\ \triangle \ } a\tr b=\underbrace{(a\o (a\o (\cdots \o(a\o a))))}_{a\ が\ b\ 個}

二項演算 \tr が可換性

a\tr b=b\tr a

を満たすとき、次の問に答えよ

(1)  1\o 1=2 を示せ。

(2)  演算\oが結合法則

a\o(b\o c)=(a\o b)\o c

を満たすとき 2020\tr 2019 の値を求めよ。

解答形式

(2)の値を半角数字で記述せよ。

E-加法定理

hinu 自動ジャッジ 難易度:
5年前

12

問題文

x=0 で微分可能な実数値連続関数 f(x),g(x) は任意の実数 x,y に対して以下の式を満たすとする。以下の空欄を埋めよ。

f(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y)\\g(x+y)=g(x)g(y)-f(x)f(y)

f'(0)=2,g'(0)=1 であるとする。今 f(0)=\fbox{ア},g(0)=\fbox{イ} であるので

\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\fbox{ウ}f(x)+\fbox{エ}g(x)\\\lim_{h\to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=\fbox{オ}f(x)+\fbox{カ}g(x)

となる。 h(x)=(f(x))^2+(g(x))^2 とおくと

h'(x)=\fbox{キ}h(x)

これより

\dfrac{d}{dx}(h(x)e^{-\fbox{キ}x})=\fbox{ク}

がわかるので、

h(x)=\fbox{ケ}e^{\fbox{コ}x}

を得る。

解答形式

半角数字で改行区切りで記述せよ。たとえば \fbox{ア}100 , \fbox{イ}-99 と答えたい場合には1行目に 100 , 2行目に -99 を記述せよ。