[B] Triangles 1

halphy 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 高校数学
2020年11月6日18:00 正解数: 11 / 解答数: 13 (正答率: 84.6%) ギブアップ不可
この問題はコンテスト「KOH Mathematical Contest #4」の問題です。

解説

ひとまず $k$ を整数とは限らない正の定数とします。条件を満たすような $k$ が存在するような $k$ の値の範囲を図形的な考察から求めましょう。

$k$ が小さいとき,辺 ${\rm AC}$ の長さが足りず三角形を作ることができません。条件を満たす $k$ が存在するような最小の $k$ は,$\triangle {\rm ABC}$ が $\angle{\rm ACB}=90^{\circ}$ の直角三角形となるときに実現され,このとき $k=4\sqrt{3}$ です。よって,空欄 $\fbox{ア}$ には $k\geq 4\sqrt{3}$ を満たす最小の整数である $7$ が当てはまります。

$k\geq 4\sqrt{3}$ のとき,$k$ が小さいうちは条件を満たす三角形は $2$ 通り存在し,ある $k$ を境に三角形が一意に定まるようになります。そのような $k$ は $\triangle {\rm ABC}$ が ${\rm AB=AC}$ の二等辺三角形(このとき正三角形にもなります)になるときの $k$ で,このとき $k=8$ です。

以上より,条件を満たすような三角形の個数は

  • $0<k<4\sqrt{3}$ のとき $0$ 個
  • $4\sqrt{3}\leq k<8$ のとき $2$ 個
  • $k\geq 8$ のとき $1$ 個

です。したがって空欄 $\fbox{イ}$ には $8$ が当てはまります。

別解

余弦定理を用いて代数的に求める方法もあります。三角形は $2$ 辺とそのはさむ角が定まれば一意に定まりますから,条件を満たすような三角形の個数は,辺 ${\rm BC}$ の長さとしてありうる値の個数に一致します。そこで,${\rm BC}=x$ とおき,$x$ の満たす関係式を考えましょう。

$\triangle{\rm ABC}$ に余弦定理を適用すると

$$
k^2=x^2+8^2-2\cdot x\cdot 8\cdot \cos{60^{\circ}}
$$

すなわち

$$
x^2-8x-k^2+64=0
$$

となります。条件を満たすような三角形が存在することと,この $2$ 次方程式が正の解を少なくとも $1$ 個もつことは同値です。$2$ 次方程式の判別式を $D$ とおき,$2$ 次方程式の左辺を $f(x):=x^2-8x-k^2+64$ とおくと,放物線 $y=f(x)$ の軸は直線 $x=4$ です。よって,今回に限って言えば,正の解をもつことと $D\geq 0$ は同値です。したがって,条件を満たす三角形が存在するための条件は

$$
D/4=k^2-48\geq 0
$$

すなわち $k\geq 4\sqrt{3}$ です。

条件を満たす三角形が一意的に存在する条件に関しても同様です。今度は,$2$ 次方程式が正の解をただ $1$ つだけもつような $k$ の値の範囲を求めればよく,それは

$$
f(0)=64-k^2\leq 0
$$

です。したがって,$k$ の値の範囲は

$$
k\geq 8
$$

となります。


おすすめ問題

この問題を解いた人はこんな問題も解いています

[A] Don't Expand It!

masorata 自動ジャッジ 難易度:
2年前

19

問題文

$$
1+(2^1+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)
$$

は、$2$ で最大何回割り切れるか。

解答形式

半角数字のみで答えよ。
たとえば $5555$ 回割り切れると答えるのであれば1行目に
5555
と入力せよ。

B-どんだk〜〜〜〜!!

ofukufukufuku 自動ジャッジ 難易度:
2年前

17

問題文

$x$ についての2次方程式
$$
3x^2+(5k-4)x+4k = 0
$$が異なる2つの正の実数解 $\alpha,\beta\;(\alpha<\beta)$ を持ち、$\beta$ の小数部分が $\alpha$ である。このとき、$k$ の値を求めよ。

解答形式

解答は
$$
\frac{N-\sqrt{M}}{L}
$$と表わされる($N,M,L$ は自然数)。分数や平方根は最も簡単な形にしてある。解答欄には $N, M, L$ の値をそれぞれ 1, 2, 3 行目に半角数字で入力せよ。

求面積問題10

Kinmokusei 自動ジャッジ 難易度:
2年前

4

問題文

図中の赤い線分の長さが10のとき、青で示した四角形の面積を求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

求長問題4

Kinmokusei 自動ジャッジ 難易度:
2年前

4

問題文

正七角形2つが図のように配置されています。
赤色の線分の長さが7のとき、青色の線分の長さを求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

求角問題2

Kinmokusei 自動ジャッジ 難易度:
2年前

12

問題文

半円2つが図のように配置されています。
赤い線分と青い線分は長さの比が1:2です。
このとき、Xの角度を求めてください。

解答形式

半角数字で入力してください。
「度」や「°」は付けないでください。
例:X=57° → 57

hinu積分01

hinu 自動ジャッジ 難易度:
2年前

12

問題

定積分

$$
\int_0^{\pi/2}\dfrac{\cos{x}-x}{1+\sin{x}}dx
$$

を計算せよ。

回答形式

半角数字で答えよ。無理数や記号等を用いる場合はTeX形式で入力せよ。

整数問題①

lucy 自動ジャッジ 難易度:
2年前

15

問題文

$x!+2=y^4+5y$を満たす自然数$(x,y)$の組をすべて求めよ。

解答形式

以下の文章に入る$a,b,c$の値を入力せよ。1行目に$a$を、2行目に$b$を、3行目に$c$を入力すること。

条件を満たす自然数の組は$a$組存在する。その組の中で、$x$が最大となるような組は$(x,y)=(b,c)$である。

2年前

19

問題文

(1)$\displaystyle \tan\theta=\frac{1}{4}$ のとき、$\displaystyle \tan2\theta=\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イウ}}$ である。

(2)連立方程式

$$
\begin{cases}
x_1=x_2(2+x_1x_2) \\
x_2=x_3(2+x_2x_3) \\
x_3=x_4(2+x_3x_4) \\
x_4=x_1(2+x_4x_1)
\end{cases}
$$

を満たす実数 $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ の組は全部で $\fbox{エオ}$ 個あり、そのうち $\tan20^\circ < x_1 < \tan80^\circ$ を満たすような組は $\fbox{カ}$ 個ある。

解答形式

ア〜カには、0から9までの数字が入る。
(1)の答えとして、文字列「アイウ」を半角で1行目に入力せよ。
(2)の答えとして、文字列「エオカ」を半角で1行目に入力せよ。

求面積問題14

Kinmokusei 自動ジャッジ 難易度:
2年前

8

問題文

周の長さが30である長方形ABCDがあります。辺CD上に∠APB=90°となるような点Pをとれるとき、長方形ABCDの面積の最大値を求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

求面積問題8

Kinmokusei 自動ジャッジ 難易度:
2年前

8

問題文

△ABCと点Pをとり、△ABP, △BCP, △CAPの重心をそれぞれ$G_1, G_2, G_3$とします。青で示した3つの三角形の面積の和が10のとき、$△G_1G_2G_3$(赤い三角形)の面積を求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

円周率 3

hinu 自動ジャッジ 難易度:
2年前

17

問題文

$\pi$ と $\dfrac{355}{113}$ はどちらが大きいか。ただし必要があれば積分

$$
\int_0^1\frac{x^8(1-x)^8(25+816x^2)}{3164(1+x^2)}dx
$$

を計算せよ。

解答形式

piまたは 355/113 で解答してください。

求角問題5

Kinmokusei 自動ジャッジ 難易度:
2年前

6

問題文

図のように正六角形・扇形・その接線があります。Xで示した角の大きさを求めてください。

解答形式

0以上360未満の半角数字で解答してください。
※単位(°や度など)をつけず、度数法で解答。