全長 L mのリムジンが、下図のように直角に曲がったトンネルを、幅 a(>0) mの道から幅 b(>0) mの道へ曲がろうとしている。 このとき、リムジンがトンネルを曲がることのできる最大の全長 Lmax (m)を求めよ。なお、車の全幅は考えなくて良いものとする。
a=5,b=6のときのLmaxの値を関数電卓を用いて計算せよ。答えは、小数第4位の数字を四捨五入したものを解答せよ。
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n≥2 を自然数とする。2 進数表記で N=11⋯11⏟n00⋯00⏟n−1(2)と表される自然数 N を考える。n=13 のとき,N の正の約数の総和を求めなさい。
2 進数で答えなさい。
定積分
∫10(7√1−x11−11√1−x7)dx
を求めよ。
値は半角数字で記述せよ。無理数などを用いたい場合は必要ならばTeX記法により記述せよ。
関数 f(x)=3√−(x+4)(2x+3)(3x−8) (−32≤x≤83) の最大値を求めよ。
半角数字またはTeXを入力してください。
∫π/20cosx−x1+sinxdx
を計算せよ。
半角数字で答えよ。無理数や記号等を用いる場合はTeX形式で入力せよ。
ある大きさの球から、ある直径の円柱をくりぬいた。円柱の軸は球の中心を通る。(ビーズのような形を想像してください) この立体の体積が36πのとき、以下のうちいずれかの値が一意に定まる。
一意に定まるものの番号と、その値を求めよ。
一意に定まるものの番号を半角数字で1行目に、その値を2行目に入れてください。2行目は整数または既約分数で答えてください。
1 4
緑色の線分の長さは1です。 このとき、円の面積を求めてください。 図中の赤点はそれを含む線分の中点です。
答えは(分数)×πの形になります。 分子を1行目に、分母を2行目に半角数字で入力してください。 ただし、既約分数の形で解答してください。 例: (10/3)π → 1行目に10、2行目に3
fm(x)という関数列をf1(x)=logx,fm+1=logfm(x)と定義します。ただしlogxは自然対数です。 具体的にはf1(x)=logx,f2(x)=loglogx,f3(x)=logloglogx,…となります。 このとき、 limn→∞{fm(3n)−fm(2n)}=0 となるような最小の自然数mを求めてください。
半角数字で入力してください。
p2+q2+r2+s2=t4+1を満たす素数(p,q,r,s,t)の組を全て求めよ。但しp≤q≤r≤sとする。
一行目に式を満たす組が何組あるか答えよ。また、そのような組の中で、tが最大であるものについて、p,q,r,s,tの値をそれぞれ2行目、3行目、4行目…へ記入せよ。いずれも数字のみ記入せよ。
(本当は解き方まで見たいですが、個別判定が大変なのでこの形式にします。できれば、なぜそうなるかもしっかり考えてください。)
nを2以上の整数とし, f(x)=n√xn+nxn−1(x≥0)を考える。
(1) xを正の整数とするとき, f(x)の値が整数でないことを示せ。
(2) y=f(x), x軸, x=m−1 (mは正の整数) で囲まれた領域内(境界線上も含む)の格子点の数を求めよ。
(2) で m=100 のときの答えを半角数字で入力してください。
おかぴんはチョコレート入りの袋が3袋入った箱を持っていて、これから食べようとしています。 しかし、おかぴんは怠惰なので食べ終わった空の袋を捨てずに、再び箱の中に入れてしまいます。 箱の中から1袋ずつ取り出して、それがチョコレートの入った袋だったなら食べて箱の中に空の袋を戻し、それが空の袋だったなら食べずにそのまま箱の中に戻す、という試行を繰り返します。 チョコレートの入った袋を取り出す確率も空の袋を取り出す確率も同様に確からしいとするとき、箱の中の全てのチョコレートを食べ終えるまでの試行回数の期待値を求めてください。
答えはアイ(ただし既約分数)となります。アイに入る数字をそれぞれ1,2行目に半角で入力してください。
x4+y4+z4+w4+(x2+y2+z2+w2)(xy+xz+xw+yz+yw+zw)+4xyzw を因数分解せよ。
TeXで入力してください。項の順番に関しては辞書式順で入力してください。字数の高い因数を先に書いてください。 例1: (x2+y2+z2+w2)(x+y+z+w)と答えるには (x^2+y^2+z^2+w^2)(x+y+z+w)を入力してください。 例2: x,y,z,wから重複せず3文字を選び、かけ合わせた項4つを辞書式順に並べると xyz,xyw,xzw,yzw
非負整数nに対し関数fを次のように定める。
f(n)=(n2)!(n!)n+1
1から2020までの整数についてf(n)が整数となるようなnの個数を求めよ。
半角数字で入力せよ。