BMC002-E

問題文

$$\angle{ADB}=\angle{ADC}=\angle{CDB}=90^°$$ なる四面体 $ABCD$ の外接球に関して、体積を $V$ 表面積を $S$ としたとき、非負整数 $p$ を用いて、$V=p\pi,S=p\pi$ が成り立ちました。
このとき、四面体 $ABCD$ の体積の最大値の2乗を求めてください。

解答形式

半角数字で入力して下さい。

問題文

下図は、直角二等辺三角形と正三角形と頂角が150°の二等辺三角形を組み合わせた図形です。直角二等辺三角形の面積が24㎠のとき、図形全体の面積を求めなさい。

解答形式

単位は㎠（単位は書かなくてよい）、数字は半角で入力してください。
例）10

問題文

$$\sum_{k=1}^{10} {}_{10}{\mathrm{C}}_{k}\cdot9^k\cdot k$$

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

任意の二次関数$\ f\ $についてある$\ \theta \ (0\le \theta \le 2\pi)$があって,$\ xy$座標平面上で$\ y=f(x)\ $を$\ \theta \ $反時計回りに回転させたものを考える.$\ $これがある関数$\ g(x)\ $で$\ y=g(x)\ $と表せるときの$\ \theta\ $としてありうるものの総和を$\ S\ $とするとき$\ S\ $を超えない最大の整数を回答して下さい.

解答形式

整数で回答してください.

【補助線主体の図形問題 #109】
　今週の図形問題です。今回はシンプルな見た目だけに、補助線が大いに活躍します。その分というわけではありませんが、計算は重めです。ぜひじっくりとお楽しみください。

解答形式

${ \def\cm{\thinspace \mathrm{cm}} }$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

問題文

$a,b,c$がいずれも正の実数であり、$a+b+c=5,abc=1$が成り立つとき、$ab+bc+ca$の最小値を求めよ。

解答形式

答えは既約分数になります。/を用いて入力してください。
例：$\displaystyle\frac{5}{7}$→5/7

問題文

$\angle B$ が鋭角である三角形 $ABC$ がある．いま，$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ との交点を $D$ とし，$D$ から辺 $AB$ に下ろした垂線の足を $H$ とする．$AH = 1944, HB = 2, AC = 2023$ がそれぞれ成り立つとき，辺 $BC$ の長さを求めよ．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

正三角形 $ABC$ において，その外接円の劣弧 $BC$ 上（端点を除く）に点 $D$ をとり，三角形 $ABD,BCD,CAD$ の内心をそれぞれ $I_C,I_A,I_B$ とすると，$I_BI_C=2I_AI_B=6$ が成立しました．このとき，$BC$ の長さの $2$ 乗を求めてください．

解答形式

答えは正整数値になるので，半角で解答してください．

問題文

$[\sqrt[11111]{2024!}]$を求めよ。ただし、$\log_{10}2=0.3010$、$\log_{10}3=0.4771$とする。

解答形式

数字のみを記入してください。

$100\times 100$ のマス目があります. 上から $i$ 行目, 左から $j$ 列目のマスを $100(i-1)+j$ と呼ぶことにします. SMC 君は一般的な $6$ 面サイコロを $10000$ 回振り, $i$ 回目に振って出た目をマス $i$ に書き込みます. このとき, 以下の条件を満たす確率を $p$ とするとき, $6^{10000}p$ は整数になるので, 素数 $3299$ で割った余りを求めてください.

• 任意の行について, その行のマスに書かれた整数の総和は偶数.
• 任意の列について, その列のマスに書かれた整数の総和は $3$ の倍数.

問題文

鋭角三角形ABCについて，外心をO，重心をG，垂心をH，内心をIとします．
$$AO=\dfrac{325}{24}, AH=\dfrac{125}{12}, AG=\sqrt{145}$$
であるとき，$AI$の2乗を答えてください．

解答形式

答えは非負整数なので非負整数値を入力してください．

問題文

任意の自然数$m,n$に対し、$A(m,n)$は
$$A(1,n) = n, \quad A(m+1,n) = \sum_{k=1}^{n}A(m,k)$$ を満たす。このとき、$A(x,y)=2024$を満たす自然数$x,y$の組$(x,y)$を求めよ。

解答形式

$x+y$の総和を半角で解答してください。