x^8-4x^4+16を整式の範囲で因数分解しろ。

与式:x^8-4x^4+16
最初に八次項と数字項について4乗を作る
=x^8+8x^6+24x^4+32x^2+16-8x^6-28x^4-32x^2
=(x^2+2)^4-8x^6-28x^4-32x^2
4乗の余り部分を共通因数で括って平方完成する
=(x^2+2)^4-4x^2(2x^4+7x^2+8)
=(x^2+2)^4-4x^2(2(x^2+2)^2-x^2)
x^2+2=A
A^4-4x^2(2A^2-x^2)
A^4-8(A^2)x^2+4x^4
ここで、式全体が複二次式になったから、複二次式の因数分解を使う
=A^4-4(A^2)x^2+4x^4-4(A^2)x^2
=(A^2-2x^2)^2-(2Ax)^2
=(A^2-2x^2+2Ax)(A^2-2x^2-2Ax)
=(x^4+4x^2+4-2x^2+2x^3+2x)(x^4+4x^2+4-2x^2-2x^3-2x)
=(x^4+2x^3+2x^2+4x+4)(x^4-2x^3+2x^2-4x+4)
ポイント
・八次項と数字項で4乗完成する
・全体を複二次式にする
このような因数分解ができる条件は八次項と数字項が4乗数で、四次項が偶数であることである。逆は成り立たない。