OMC没問1

natsuneko 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 高校数学
2023年10月30日14:07 正解数: 8 / 解答数: 11 (正答率: 72.7%) ギブアップ数: 6
代数

全 11 件

回答日時 問題 解答者 結果
2025年5月13日20:09 OMC没問1 Weskdohn
正解
2024年6月3日22:12 OMC没問1 shakayami
不正解
2024年4月15日11:22 OMC没問1 simasima
正解
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2023年11月5日10:35 OMC没問1 bzuL
正解
2023年11月3日10:54 OMC没問1 Furina
正解
2023年11月2日7:44 OMC没問1 miq_39
正解
2023年11月2日7:42 OMC没問1 miq_39
不正解
2023年11月1日23:32 OMC没問1 miq_39
不正解
2023年10月30日17:49 OMC没問1 naoperc
正解

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以下の値を求めてください。
$$
\sum_{1\leqq m<n\leqq 9} \biggl(\cos\dfrac{m\pi}{10}+\cos\dfrac{n\pi}{10}+1\biggr)^3
$$

解答形式

答えは正整数になるので、それを半角数字で解答してください。

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解答形式

整数で回答してください.

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$0,a,b,c$ は相異なる実数で,$a^3b+b^3c+c^3a=ab^3+bc^3+ca^3$ を満たすとき,次の値を求めよ.$$\min_{a,b,c}\dfrac{(a^3+b^3+c^3)(a^4+b^4+c^4+50)}{a^5+b^5+c^5}$$

解答形式

半角数字で入力してください.

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正整数 $m$ に対して, $m$ の正の約数全ての相加平均を $f(m)$ とします.このとき以下を満たす $m$ の総和を求めてください.
$$f(m)=\frac{m}{2}$$


${}$ 西暦2024年問題第6弾です。いよいよ整数問題のお出ましとなりました。ある程度は手を動かす必要がありますが、あることに気づけば調べる候補をぐっと減らすことができます。約数の個数を求めるのが面倒な方はWolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com なども併用して構いません。

解答形式

${}$ 解答は求める$n$の最小値をそのまま入力してください。
(例)$n=2106$ → $\color{blue}{2106}$

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Kinmokusei 自動ジャッジ 難易度:
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問題文

正方形と正三角形を組み合わせた以下の図において、青で示した角の大きさを求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。
解答は度数法で、単位を付けずに0以上180未満の整数として解答してください。


問題文

$n$ を $3$ 以上の整数とする。点 $\mathrm{O}$ を中心とする、半径 $1$ の円の形をしたピザがある。ピザの周上には、等間隔に点 $\mathrm{P}_1,\ldots,\mathrm{P}_n$ が並んでいる。

線分 $\mathrm{OP}_1$ 上に、線分 $\mathrm{OO'}$ の長さが $d$ となるような点 $\mathrm{O'}$ をとる。ここで $0< d < 1$ は定数である。ピザを線分 $\mathrm{O'P}_1,\ldots,\mathrm{O'P}_n$ によって分割し、分けられた $n$ 個のピザのうち線分 $\mathrm{P_1P_2,P_2P_3,\ldots, P_nP_1}$ を含む部分の面積を、それぞれ $S_1,\ldots,S_n$ とする。

$S_i$ の 平均はもちろん $\displaystyle \bar{S}= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}S_i=\frac{\pi}{n}$ である。では、$S_i$ の分散 $\displaystyle \sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(S_i-\bar{S})^2$ はどうなるだろうか。以下の空欄を埋めよ。

(1)$\displaystyle \frac{\sigma ^2}{d^{\alpha}}$ が $d$ によらない定数となるような $\alpha$ の値は $\alpha=\fbox{ア}$ である。$n=12$ のとき、$\sigma^2$ を具体的に計算すると

$$
\sigma ^2 = \frac{\fbox{イ}-\sqrt{\fbox{ウ}}}{\fbox{エ}}d^{\fbox{ア}}
$$

である。

(2)極限 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}n^{\beta}\sigma^2$ が $0$ でない有限の値に収束するような $\beta$ の値は $\beta=\fbox{オ}$ である。$\displaystyle d=\frac{1}{12\pi}$ のとき、その極限値は

$$
\lim_{n\to\infty}n^\fbox{オ}\sigma^2 = \frac{\fbox{カ}}{\fbox{キクケ}}
$$

である。

解答形式

ア〜カには、0から9までの数字が入る。
(1)の答えとして、文字列「アイウエ」を半角で1行目に入力せよ。
(2)の答えとして、文字列「オカキクケ」を半角で2行目に入力せよ。
なお、「ア」や「オ」には0や1が入ることもありうる。
また、分数はできるだけ約分された形で、根号の中身が最小となるように答えよ。
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半角数字で解答してください.

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このとき,最初にナイトの駒を置いた $2$ マスの組み合わせとしてあり得るものの総数を求めてください.

解答形式

半角数字で解答してください.