解説
$a_{1}=0$ のとき，$|a_{2}|=a_{1}=0$ だから，$a_{1}+a_{2}=0$
$a_{2}=0$ のとき，$a_{1}=|a_{2}|=0$ だから，$a_{1}+a_{2}=0$
さらに，$a_{3}=0$ のとき
$$
|a_{3}|=\frac{1}{2}(a_{1}+a_{2})=0\\
a_{1}+a_{2}=0
$$
与えられた式から $n\geqq 4$のとき，
$$
|a_{n}|\\
=\frac{1}{n-1}\sum_{k=1}^{n-1}a_{k}\\
=\frac{1}{n-1}(a_{n-1}+\sum_{k=1}^{n-2}a_{k})\\
=\frac{1}{n-1}\lbrace a_{n-1}+(n-2)|a_{n-1}|\rbrace
$$
ここで，$a_{n}=0$ なる自然数 $n (n\geqq 4)$ が存在しているならば，
$$
a_{n-1}+(n-2)|a_{n-1}|=0
$$
である。
$$
a_{n-1}+(n-2)|a_{n-1}|\\
\geqq-|a_{n-1}|+(n-2)|a_{n-1}|\\
=(n-3)|a_{n-1}|
$$
よって
$$
0\geqq(n-3)|a_{n-1}|\\
0\geqq|a_{n-1}| (\because n-3\geqq4-3=1>0)
$$
以上から$|a_{n-1}|=0$ であるから，$a_{n-1}=0$ である。これを繰り返すことで
$a_{n}=a_{n-1}=...=a_{3}=0$ となり，$a_{3}=0$ のとき，$a_{1}+a_{2}=0$ である。
以上から，ある自然数 $n$ で $a_{n}=0$ であるならば，$a_{1}+a_{2}=0$ である。
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