[A] ひとつ答えよ
あなたにおすすめの問題
「$8$」と答えたあなた
式に $n=1$ を代入すればそのまま $f(1)=\sqrt{64}=8$ になることに気づいて、素直に $8$ と答えたあなた。 あなたは物事を深く考えず、とりあえず目先のことがうまくいけばいいと考える傾向にあるようです。あるいは面倒な計算をするのがあまり好きではないのかもしれません。
そんなあなたにオススメの問題は [B] 分度器の上で です。$4$ つも変数があって一見難しそうな方程式ですが、三角関数に注目するとスッキリ解くことができます。もちろん他の問題もぜひ！
「$9$」と答えたあなた
$f(1)=8$ であることはすぐに気づいたものの、さすがにつまらないと思ったのか、あるいは他の $n$ ではどうなるのか気になったのか、とにかく $n=2$ も確かめてみた結果 $f(2)=\sqrt{81}=9$ に気づいて $9$ と回答したあなた。あなたは好奇心が強く、また少し数学が好きなはずです。
そんなあなたにオススメの問題は [C] からくり箱 です。それほど込み入った議論をしなくても解ける関数方程式です。パズル感覚で取り組んでみてください。もちろん他の問題もぜひ！
「$37$」と答えたあなた
$n=1,2$ では満足せず、もっと大きな数を調べて $f(6)=\sqrt{1369}=37$ という最も非自明な値に気づいたあなた。たぶん、あなたは数学が大好きでしょう。
そんなあなたにオススメの問題は [F] 執根号神 です。$\sqrt{1369}=37$ に気づいたあなたなら、解答欄のインパクトに圧倒されずに正解にたどり着けるはずです。是非チャレンジしてみてください。もちろんぜひ他の問題もぜひ！
競技プログラマーのあなた
あなたはこの問題をみた瞬間、Excelか何かのツールを用いて $1\leq n\leq100$ くらいの $f(n)$ の値をすべて計算したはずです。もちろん、このコンテストでは好きなだけ外部ツールを用いて構いません！
そんなあなたにオススメの問題は [D] 自己言及的な数列 です。$0$ から $9$ までの数をうまく穴埋めするパズル問題ですが、コードを書けば脳死で解けるかも？もちろん他の問題もぜひ！
誤答したあなた
A問題で誤答するあなたは、もしかしてのび太くんなのでは？
そんなあなたにオススメの問題は [E] お好みの湯加減 です。しずかちゃんがお風呂に入ります。もちろん他の問題もぜひ！
（真面目な）解答
$f(n)=\sqrt{n^4+2n+61\ }$ が整数となるような正の整数 $n$ が $n=1,2,6$ だけであることを示す。
まず、$n\geq1$ において $n^4<n^4+2n+61=(f(n))^2$ が成り立つ。次に
$$
\begin{eqnarray}
(n^2+1)^2-(f(n))^2&=&(n^4+2n^2+1)-(n^4+2n+61)\\
&=&2n^2-2n-60\\
&=&2(n+5)(n-6)
\end{eqnarray}
$$
であるから、$n=6$ のとき
$$
(f(6))^2=(6^2+1)^2=37^2\\
\therefore f(6)=37
$$
である。また $n\geq7$ のとき $(n^2+1)^2-(f(n))^2>0$ であるから
$$
n^4<(f(n))^2<(n^2+1)^2\\
\therefore n^2 < f(n) < n^2+1
$$
が成り立ち、このとき $f(n)$ が整数となることはない。よってあとは $1\leq n\leq5$ を調べればよく、
$$
\begin{eqnarray}
f(1)&=&\sqrt{64}=8\\
f(2)&=&\sqrt{81}=9\\
f(3)&=&\sqrt{148}=2\sqrt{37}\\
f(4)&=&\sqrt{325}=5\sqrt{13}\\
f(5)&=&\sqrt{696}=2\sqrt{6\times29}\\
\end{eqnarray}
$$
であるから、$f(n)$ が整数となるような $n$ は $n=1,2,6$ だけであることがわかる。
おすすめ問題
この問題を解いた人はこんな問題も解いています
